Nicht gleich rot sehen, nach einer Geburt geht es hormonell nochmal richtig zur Sache, das ist wirklich teilweise richtig, richtig krass! Du hättest mich erleben müssen... auweia.... :nixwieweg
Bei meinem Sohn gab es zwei Geburtsurkunden, eine ohne eingetragenen Vater, damit konnte ich erstmal die Gelder beantragen und dann folgten Vaterschaftsanerkennung beim Jugendamt und er wurde nachgetragen. Also keine Panik!
Mit meinem Ex war ich nach der Geburt zusammen beim Standesamt, da ging es um Vaterschaft und Sorgerecht. Der kam gleich in die Geburtsurkunde. Es gehen also beide Varianten.
Ruf doch mal beim Jugendamt an und frage nach, wie Du das am Besten geklärt bekommst.
Deiner Ex begegne bitte (so schwer es fällt, ich weiß) die nächste Zeit noch mit Nachsicht und versuch "nur" Dich mit ihr zu einigen die Kleine regelmäßig zu sehen.