Erst einmal brauchst Du niemandem den Krankheitsgrund mitzuteilen. Ob Du nun wegen Fußpilz oder wegen Fingernagelbruch krankgeschrieben bist, geht niemanden etwas an. Weder den Arbeitgeber (noch die ARGE), geschweige denn den Ex.
Von sich aus wird ein Richter nie nachfragen. Dein Ex müsste den Antrag stellen, dass Du nicht erziehungsfähig bist aufgrund von Krankheit. Falls er den durchbekommt (was sehr selten der Fall ist), würde schon ein Zettel des Hausarztes reichen: Die Erkrankung von Maikind hat keinen Einfluss auf ihre Erziehungsfähigkeit. Punkt.
Richter hören bei swoas sowieso nicht hin: In 99 Prozent aller Familiengerichtssachen behauptet die eine oder andere Partei, Ex sei a) alkoholabhängig b) gewalttätig c) psychisch krank d) sowieso erziehungsunfähig.
Also an der Stelle keine Sorge.
Und zum Unterhalt: Verspätete Zahlungen und Teilzahlungen sind immer übel. Wenn Du einen Titel hast, kannst Du auch gegen den Ex vorgehen. Aber einen Monat Verzug muss man leider mit leben, in der Praxis kann man da nur wenig gegen machen. Bis ein Rechtsweg greift, vergehen mehrere Wochen. Wird dann schnell gezahlt, bleibt man oft auch noch auf Verfahrenskosten hängen. Ganz doof...