Das JA hat mit eurer Einigung recht wenig zutun. Das JA hat keine Entscheidungskompwtenz, sondern beraet nur, solange man im Bezirk wohnt. Deshalb solltest du schriftliche Absprachen zwischen euch Eltern im Original immer selbst behalten.
Nach dem Umzug könnte es sein, dass ein anderer Sachbearbeiter - und noch bloeder - ein anderes JA zuständig ist.
Mit der Absprache jetzt kannst du vorwärts gehen: Den Mietvertrag pinseln, die Schulummeldung vornehmen. Ihr habt euch geeinigt. Auf einen neuen Aufenthalt. Der ist gültig. Aendern könnt ihr den nur gemeinsam. Oder Ex müsste jetzt eine Klage auf ABR einreichen.
Vorher solltest du aendern und Ex hat zustimmen müssen. Ohne Zustimmung gilt im Falle eines Falles die alte Absprache. Jetzt ist es umgekehrt: die neue Absprache gilt.
Wenn man will, könnte man sagen, deine Position hat sich (juristisch) erheblich verbessert.